A finite element method with overlapping meshes for free-boundary axisymmetric plasma equilibria in realistic geometries

Existing finite element implementations for the computation of free-boundary axisymmetric plasma equilibria approximate the unknown poloidal flux function by standard lowest order continuous finite elements with discontinuous gradients. The location of critical points of the poloidal flux, that are of paramount importance in tokamak engineering, is constrained to nodes of the mesh, which leads to undesired jumps in transient problems. Moreover, recent numerical results for the self-consistent coupling of equilibrium with resistive diffusion and transport suggest the necessity of higher regularity when approximating the flux map. In this work we propose a mortar element method that employs two overlapping meshes. One mesh with Cartesian quadrilaterals covers the vacuum domain and one mesh with triangles discretizes the region outside the vacuum domain. The two meshes overlap in a narrow region around the vacuum domain. This approach gives the flexibility to achieve easily and at low cost higher order regularity for the approximation of the flux function in the domain covered by the plasma, while preserving accurate meshing of the geometric details exterior to the vacuum. The continuity of the numerical solution in the region of overlap is weakly enforced by a mortar-like projection. Key-words: axisymmetric plasma equilibria in tokamaks; domain decomposition mortar method; overlapping meshes; linear and cubic Résumé : En éléments finis, les applications existantes pour le calcul d’équilibres de plasma à frontière libre en axisymétrique approchent le flux poloidale par une fonction continue à gradient discontinu, qui est localement dans chaque élément du maillage un polynôme de degré un. La position des points critiques du flux poloidale, qui est de grande importance pour les ingénieurs des tokamaks, est par consequence limitée aux seuls nœuds du maillage, et donc à l’origine de perturbations quand on modelise le passage du plasma du transitoire vers l’équilibre. De plus, des résultats numériques recents sur le couplage à l’équilibre entre le plasma et un modèle de diffusion/transport ont montré le besoin de plus de regularité dans l’approximation du flux. Dans ce travail on propose une approche par méthode d’éléments finis avec joints sur deux maillages qui se recouvrent. Un maillage structuré composé de rectangles qui couvre la chambre à vide du tokamak et un maillage non structuré de triangles pour la partie du domaine qui se trouve à l’exterieur de la chambre à vide. Les deux maillages sont superposés sur une bande etroite qui entoure la chambre à vide. Cet approche est assez flexible pour permettre d’avoir facilement et à bas coût numérique une approximation du flux poloidale plus regulière dans la chambre à vide tout en gardant une description precise des détails géometriques dans la partie externe. La continuité de la solution numérique dans la partie de recouvrement des maillages est imposée faiblement à l’aide de projections de type mortar. Mots-clés : plasma à l’equilibre dans des tokamaks en axisymétrique; méthode de décomposition de domaine avec éléments joints (mortar); recouvrement de maillages; éléments finis linéaires et cubiques Mortar element method for free-boundary axisymmetric plasma equilibria 3